本书主要讲述Sobolev空间的基本理论。全书共7章，第1章介绍连续函数空间和H。lder空间的常用性质，并证明H。lder模内插不等式；第2章详细介绍Lebesgue可积函数空间Lp(Ω)的性质和主要结论；第3章和第4章系统讲述整数阶Sobolev空间的基本性质，并给出嵌入定理、迹定理和Gagliardo-Nirenberg不等式的详细证明；第5章论述广义函数与Fourier变换的定义、运算和性质；第6章概述Riesz位势空间和Bessel位势空间以及实数阶Sobolev空间的定义和性质；第7章介绍Besov空间和Triebel空间的定义与基本性质。本书内容深入浅出、论证详细、文字通俗易懂、便于学习。
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目录
第1章 预备知识与连续函数空间 1
1.1 泛函分析预备知识 1
1.1.1 线性空间与距离空间 1
1.1.2 Banach空间和Hilbert空间 3
1.1.3 算子与嵌入 8
1.1.4 线性泛函与弱收敛 12
1.2 连续函数空间 16
1.3 H？lder空间 21
1.4 H？lder模内插不等式 25
习题 1 30
第2章 Lp空间 32
2.1 某些必须掌握的积分定理 32
2.2 Lp空间的基本性质 34
2.3 Lp空间的一致凸性与自反性 43
2.4 Lp空间的对偶空间 47
2.5 *在 Lp中的稠密性与 Lp空间的可分性 51
2.5.1 *在*中的稠密性 51
2.5.2 *在*中的稠密性 53
2.5.3 Lp空间的可分性 57
2.6 Lp空间中的列紧集 58
2.7 分布函数与弱Lp空间 65
2.8 Hardy-Littlewood极大函数 70
2.9 Riesz位势的Lp估计 74
2.9.1 * 74
2.9.2 *为有界区域 77
习题 2 80
第3章 整数阶Sobolev空间的基本性质 83
3.1 弱导数及其运算 83
3.2 弱导数与绝对连续函数 92
3.3 *的定义和基本性质 97
3.4 *中函数的光滑逼近 101
3.4.1 截断函数与局部光滑逼近 101
3.4.2 单位分解与整体光滑逼近 104
3.5 *的刻画 107
3.6 *的差商刻画 109
3.7 *中函数的延拓 117
3.8 *中函数的边界迹 123
3.8.1 空间*的情形 123
3.8.2 广义Green公式 127
3.8.3 空间*的情形 128
习题 3 129
第4章 整数阶Sobolev空间嵌入定理 131
4.1 Sobolev空间嵌入的必要条件 131
4.2 *中的嵌入定理 135
4.3 *中的嵌入定理 144
4.4 *中的嵌入定理：多维情形 150
4.5 *中的紧嵌入定理 162
4.6 Poincaré不等式与等价模 165
4.7 Gagliardo-Nirenberg不等式 171
4.8 Sobolev空间的乘积估计 177
习题 4 180
第5章 广义函数与Fourier变换 183
5.1 绝对可积函数的Fourier变换 183
5.2 广义函数的基本空间 188
5.3 广义函数空间 193
5.3.1 广义函数的支集 195
5.3.2 广义函数的极限 197
5.3.3 广义函数的自变量变换 198
5.3.4 广义函数的导数 199
5.3.5 广义函数的乘子 201
5.4 *和*的对偶空间 202
5.5 广义函数的卷积 206
5.5.1 广义函数与光滑函数的卷积 206
5.5.2 广义函数的卷积 208
5.6 广义函数的Fourier变换 209
5.6.1 缓增广义函数的Fourier变换 209
5.6.2 L2函数的Fourier变换 213
5.6.3 Paley-Wiener定理 214
5.7 径向函数的Fourier变换 217
习题 5 219
第6章 实数阶Sobolev空间 222
6.1 Riesz位势与Bessel位势 222
6.1.1 Riesz位势 222
6.1.2 Bessel位势 227
6.2 两个经典的算子插值定理 232
6.3 卷积算子和Fourier乘子 240
6.4 Mihlin-H？rmander乘子定理 245
6.5 Bessel位势空间* 252
6.6 Riesz位势空间* 255
6.7 分数阶Sobolev空间* 260
6.7.1 定义和基本性质 260
6.7.2 延拓定理 265
6.7.3 嵌入定理 266
6.8 迹定理 273
习题 6 279
第7章 Besov空间和Triebel空间 282
7.1 Littlewood-Paley分解 282
7.1.1 局部化方法与Bernstein不等式 282
7.1.2 Littlewood-Paley分解及其性质 284
7.1.3 Sobolev空间的Littlewood-Paley刻画 294
7.2 Besov空间和Triebel空间的定义及基本性质 296
7.3 Besov空间模的微分差分表示 304
7.4 Besov空间和Triebel空间的嵌入定理 311
7.4.1 嵌入定理 311
7.4.2 内插不等式 318
7.4.3 对数型Sobolev不等式 322
7.5 当*和*时*的极限 324
7.6 Besov空间与导数 330
习题 7 338
参考文献 341
索引 347
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