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人人可懂的微积分——用动态、微观、累加的观点来看待微积分 
定 价：69 元
9 7 6 8 9 7 6 3 9 0 2 2 6  为实现人人可懂微积分的目标，本书每章从知识树导览开始，帮助读者概览核心知识点，以应用场景激发读者的学习兴趣，通过问题先导的方式，提出并解答常见问题。每章正文部分不仅讲解理论知识，还设置工程应用实例，以强化理论与实践的结合。学习微积分最为关键的就是学到其精髓——“动态、微观、累加”的观点和思维。全书分为8章，包括极限、导数、偏导数、微分、不定积分、定积分、多重积分、常微分方程。以这些内容作为主线，还拓展介绍了无穷级数、极坐标、欧拉公式等知识。本书不仅可供具有初中数学基础的人士阅读，还可供已经进入和即将进入大学的学生、广大工程技术人员、需要参加自学考试者等阅读。 本书从作者学习和使用26年微积分知识的感悟出发，以“轻松读懂微积分”为目标，把“动态、微观、累加”三点精髓贯穿全书，逐步讲解极限、导数、偏导数、微分、不定积分、定积分、多重积分、常微分方程知识。本书给出了31个微积分知识的应用场景，这些场景有的与生活息息相关、有的具有工程应用背景，有的跨学科应用到力学、电路学等场景，都浅显易懂，引发读者思考数学、应用数学。本书用8棵知识树引出每章的学习内容，用51道问答讲解学习微积分可能遇到的难点、堵点问题，用75道例题演示学习的知识点，用78幅插图开启对微积分形象和直观的理解，让读者对高等数学知识有生动的理解，帮助读者跳出可能会踩到的“坑”。
前言
26年高等数学情缘与感悟 1999年，我步入大学殿堂，在懵懂之中开始学习微积分。在攻读完硕士、博士后，我从一名“挨踢民工”（IT谐音，喻指老程序员）辗转企业、政府、学校工作，成长为一名学校的教授，始终在使用和学习高等数学。26年的历程，与高等数学结下了一种“甩不掉、有点烦、离不开、喜欢它”的深厚情缘。也正是因为进入学校工作，使得我有时间可以静心思考和创作，以至于想把心路历程、数学感悟、学习方法分享给大家。 一、 从应付考试过关到修行高等数学 图1展示了我在本科、研究生求学阶段与工作阶段对高等数学的感悟，主要有3点。 图1在学习和工作中感悟高等数学 1. 大学要学专业先学高等数学，要学高等数学先学微积分 通常，理工科专业本科一年级优质学期就会先学微积分，部分涉及数据分析的文科类专业也会学。 我那时根本不知道微积分可以用来做什么，只是单纯地想要学好、过关、拿个好成绩。相信大多数人也是这种单纯的学习动机。大学里，我后续还学习了“线性代数”“概率论”这两门高等数学课程。“微积分”“线性代数”“概率论”这3门高等数学课程构成了很多专业高等数学基础的“铁三角”。 我大学读的是计算机科学与技术专业。大学期间，在学习上述三门高等数学课程后，我还学习了“离散数学”“高等物理”“模拟电路”“数字电路”“编译学原理”“算法分析与设计”等课程，它们都或多或少要用到微积分的一些知识。如果没有微积分知识作基础，听这些课程就会像听“天书”。 很多时候，我们需要在学习专业课程时回过头来复习高等数学知识。可以说，大学四年是提升数学修为的四年，也是读书的黄金时期。因此，我认为，“大学就是在不断提升数学修为。” 2. 读研应突破高等数学隔墙，学后当具备“三种能力” 大学毕业后，迫于生计我选择了先就业后考研。工作之余，我坚持攻读了软件工程专业的硕士学位和控制科学与工程专业的博士学位。 刚进入研究生学习阶段时，我感叹的学长们写出的学术论文满版都是数学公式，用数学表述推理、表述数据分析情况，再辅以高清的数据展现图。那时，我励志自己也要写出这样“高大上”的学术论文。 总感觉研究生阶段的自己在科学研究、工程实践之间摇摆不定，仿佛在二者之间有一堵隐形但又确实存在的隔墙。站在工程实践这边，如果突破不了则写的论文、做的工程项目不上档次；站在科学研究这边，如果突破不了则论文没有落地、研究实用价值不明显。一旦突破，则两边融会贯通。这堵隔墙就是高等数学。 幸运的是，我遇到的是硕士生导师王如龙教授、博士生导师章兢教授，他们都是既注重科学研究又注重工程应用的，一再要求从事的研究工作必须要有工程背景、实际应用。以此要求为基调，在硕士三年和博士四年的学习期间，我都在工程和科学的研究中保持了一种比较好的平衡。 软件的应用开发通常不需要太多的高等数学知识，但是做大数据技术的研发必然涉及机器学习的模型，模型背后的原理需要运用到大量的高等数学知识，其中也包括微积分。 我感觉到，作为一名硕士研究生、博士研究生，与本科生和普通的工程技术人员最大的区别就是“研究生通常是突破了隔墙的人”。更具体地说，研究生具备“三种能力”，即研究生能在科学研究与工程实践之间融会贯通，能用数学知识描述、计算并建立解决方案的模型，能动手运用数学知识解释工程原理并做出应用。这是我对研究生从事研究工作的朴素理解，要具备这“三种能力”，始终离不开高等数学。 在研究生阶段需要更多地进行自习，如果没有在大学里掌握微积分、线性代数、概率论，要研习并懂得做专业研究用到的数学知识几乎没有可能。例如，研究工程机械应力应变的有限元分析需要大量运用到微积分中的导数、积分等知识；研究人工智能领域的机器学习需要大量运用到极限、微分方程、偏导数等知识。 3. 社会中方见高等数学功夫，感悟中领会高等数学力量 如果认为人生目标只是谋个生计、图口饭吃，我觉得不学高等数学也问题不大。但是，要做个有追求的人、在专业领域有所建树的人，至少从事理工科专业的人士不太可能离开高等数学。 首先，工程应用的背后运用到大量高等数学知识。我从事教育科学研究用到过支持向量机、神经网络等人工智能模型解决教育大数据分析的技术问题，有微积分、线性代数、概率论等知识作为背景，可以较好地理解模型的每个参数代表的意义，可以轻松自如地调节模型参数，从而取得较好的泛化能力用于预测。 其次，经过高等数学洗礼的人更具严谨的工作作风。为什么学习高等数学就是一种修为？并不是因为知识本身，而是因为在学习过程中可以积累起用高等数学描述和解决问题的严谨性，修炼出一种对人对事都“认真而又有节奏感”的数学修为。 最后，我喜欢在遇到纷杂的事务后到专业领域里来修身修心。每个人都有不同的爱好，有的人一有空就搓麻将消磨时光，有的人遇到心烦的事就邀约三五朋友喝酒唱歌。我更喜欢看看有高等数学知识的专业书，因为捧上一本专业书，心静下来了，人也平复了，再没有心烦的事，再没有纷纷扰扰；何况一进入学习状态，还能学到知识、提升价值。所以说，“有高等数学修为的人，想不都难，这就是力量”。 纵观与高等数学的26年情缘，可以小结为“与其厌烦，不如拥抱；既做修行，当认真学习”。自此开篇，我和大家一起来再次学习微积分知识。 二、 谈谈厌烦高等数学的原因及应对办法 接下来，我想从普适的角度谈谈为什么大家会厌烦高等数学。如图2所示，我从三个角度来进行评判。 图2厌烦高等数学的原因及对策 1. 普遍厌烦高等数学的原因是什么 大家在社会中的分工不同，研究的专业领域不同，喜好自然也是不同。之所以普遍会对高等数学有点烦，我想无非三点原因。 优质点，高等数学里符号特别多，让人心生畏惧。这尤以微积分更甚。像“∑”“∏”“∫”这些大型运算符，一看就让人自然而然地产生一种压迫感。 第二点，普通的工作用不到高等数学，让人本能回避。通常加、减、乘、除等基本运算就能解决日常工作和生活的问题，不需要用到多么高深的数学知识。 第三点，高等数学的现有读物并不友好，让人提不起兴趣。市面上有关高等数学（特别是微积分的读物）的图书多为教材，无论是大学教材还是考研、自考用书，明显让人感觉枯燥。缘此，很少有人不厌烦高等数学。 2. 为什么提倡大家学高等数学 我们应该不厌其烦地学习高等数学，原因有三。 其一，数学符号并不可怕。人天生对未知事物有恐惧感，如果熟悉并且理解了背后的方法，自然就不怕了。 其二，大学生与普通人的不同之处就是高等数学。我时常提醒教过的大学生: “作为一名大学生，不学懂弄通点与普通人不一样的高等数学知识，怎么能在专业领域有所建树和体现与别人的价值差异呢？”高等数学就是这样，如果基础打好了，会发现在专业知识领域可以有广阔的学习空间，可以解决不一般的问题，可以深入理解很多定论背后的原理。 其三，我真心想让图书活起来。现在我就是想做这样的一件事，让枯燥的高等数学变得有趣一点、容易一点、实用一点。“三个一点”加起来就会让高等数学形象很多。我非常愿意尝试这样的图书创作，惠及更多的普通人，使其成长为专业的、掌握高等数学知识的、不一般的劳动者。 3. 怎么让自己不厌烦高等数学 想不厌烦高等数学就得想办法提起学习的兴趣，办法自然有很多。 优质种办法是激发学习动力。动力有很多种，通常可用目标导向法培育动力。例如，拿下微积分，通过自学课程考试； 邓子云，长沙商贸旅游职业技术学院副校长、博士、博士后、教授。主持过重点课题、湖南省社科重大课题等省级以上重大、重点科研项目8项，纵向、横向累计50余项;主持省级以上职业教育重点项目16项，其中精品课程、共享开放课程各1门。著有一作和独著著作15本;已累计发表学术论文125篇。主笔的研究报告有4篇获得省批示。曾获得行指委教学成果一等奖、行业科技进步一等奖、湖湘智库成果奖等奖励；获评为湖南省普通高校教学名师、及省黄炎培职业教育杰出教师、湖南省科技创新领军人才、湖南省121高层次人才、湖南省学科带头人。主要研究方向：机器学习及大数据技术、高等职业教育。
目录
第1章极限 知识树 / 001 应用场景: 边无穷多就成了圆 / 002 问题先导: 怎样让人感觉极限运算不复杂 / 003 1.1用动态和有界的观点来理解极限 / 003 1.1.1怎么理解动态和有界 / 003 1.1.2求连续函数的极限 / 004 1.2求函数极限的方法 / 005 1.2.1用图形法求函数的极限 / 005 1.2.2理解无穷小和无穷大 / 007 1.2.3比较无穷小和无穷大的阶 / 011 1.2.4会用极限的运算法则 / 015 1.3极限计算的示例 / 016 1.3.1一眼看出计算结果 / 016 1.3.2会用两个重要的极限 / 017 1.3.3算算钱存到银行里3年后会有多少钱 / 019 1.3.4推导圆的周长和面积公式 / 020 1.4小结 / 022 第2章导数 知识树 / 023 应用场景: 爬陡坡更累 / 024 问题先导: 学习导数有什么诀窍吗 / 025 2.1用动态和微观的观点理解导数 / 026 2.1.1用图形来理解导数 / 026 2.1.2用导数的定义计算导函数 / 029 2.1.3彻底讲透导数的内涵 / 029 2.1.4理解可导与连续的关系 / 030 2.1.5学习常用的求导法则 / 031 2.2计算导数的方法 / 034 2.2.1会用复合函数的求导法则 / 034 2.2.2会用函数乘法的求导法则 / 035 2.2.3会用函数除法的求导法则 / 037 2.2.4会用三角函数的求导法则 / 038 2.2.5会求隐函数的导数 / 040 2.2.6会求反函数的导数 / 041 2.2.7其他计算法则 / 042 2.3高阶导数 / 042 2.3.1理解高阶导数的内涵 / 042 2.3.2初见泰勒公式 / 043 2.3.3初见麦克劳林公式 / 045 2.3.4运用泰勒公式和麦克劳林公式做近似计算 / 045 2.3.5用多项式扩展眼界表达可导函数 / 047 ◎2.3.6推导出泰勒公式 / 047 ◎2.3.7用泰勒公式比较导数定义中无穷小的阶 / 049 2.4洛必达法则 / 050 2.4.1学会使用洛必达法则 / 050 ◎2.4.2推导出洛必达法则 / 051 2.5用导数解决实际问题 / 053 2.5.1求极值点 / 053 2.5.2求拐点 / 055 2.5.3求自由落体物体的速度与加速度 / 059 2.6小结 / 060 第3章偏导数 知识树 / 061 应用场景: 房价随影响因素的变化而变化 / 062 问题先导: 偏导数与导数有什么不同 / 063 3.1用动态和微观的观点理解偏导数 / 064 3.1.1先会求偏导数 / 064 3.1.2理解偏导数的几何意义 / 065 3.1.3引出偏导数的定义 / 067 3.2方向导数 / 068 3.2.1会计算二元函数的方向导数 / 068 3.2.2补充学习一些向量知识 / 071 3.2.3补充学习一些矩阵计算知识 / 073 3.2.4解决一个很多人的困惑 / 074 3.2.5理解什么是梯度 / 075 3.3多元函数的凹凸性 / 077 3.3.1理解什么是凸函数和凹函数 / 077 3.3.2如何判定一元函数的凹凸性 / 078 ◎3.3.3如何判定多元函数的凹凸性 / 081 ◎3.4多元函数的泰勒公式 / 087 3.4.1初见多元函数的泰勒公式 / 087 3.4.2理解泰勒公式的矩阵形式 / 088 3.5用偏导数解决实际问题 / 091 3.5.1运用偏导数考察合力随平面位置的变化 / 091 3.5.2运用梯度做优化计算 / 092 ◎3.5.3运用多元函数的泰勒公式做近似计算 / 097 3.6小结 / 098 第4章微分 知识树 / 100 应用场景: 从微观角度理解矩形面积的增量和不规则图形的面积 / 101 问题先导: 微分、导数、积分的知识是怎么相通的 / 102 4.1用动态和微观的观点理解微分 / 103 4.1.1理解微分 / 103 4.1.2掌握微分的计算法则 / 105 4.1.3理解并计算偏微分和全微分 / 105 4.2极坐标系 / 107 4.2.1理解极坐标系 / 107 4.2.2什么样的函数适用于使用极坐标系 / 109 4.2.3理解多元函数的球坐标系 / 111 4.3中值定理 / 113 4.3.1理解罗尔中值定理 / 113 4.3.2理解拉格朗日中值定理 / 114 4.3.3理解柯西中值定理 / 114 4.4用微分解决实际问题 / 115 4.4.1用微分近似求面积的变化量 / 115 4.4.2用极坐标系和微分计算雷达中物体的速度 / 116 4.4.3用中值定理分析企业的生产成本 / 117 4.5小结 / 118 第5章不定积分 知识树 / 119 应用场景: 从注水速度函数反推出注水量函数 / 120 问题先导: 记住不定积分的公式有什么办法 / 121 5.1以导数为基础反向理解不定积分 / 122 5.1.1理解原函数和不定积分的定义 / 122 5.1.2从几何上理解不定积分 / 123 5.1.3从定义来看如何求不定积分 / 125 5.2计算不定积分的方法 / 126 5.2.1对应导数记忆不定积分公式 / 126 5.2.2从乘法、除法至深入学习分部积分法 / 128 5.2.3学习一些简单的计算法则 / 132 5.2.4学会使用换元积分法 / 133 5.3用不定积分解决实际问题 / 134 5.3.1反推自由落体的距离计算公式 / 134 5.3.2用不定积分计算曲线的长度函数 / 135 5.3.3根据电流函数推导出电荷量函数 / 136 5.4小结 / 136 第6章定积分 知识树 / 137 应用场景: 计算水坝迎水面的压力 / 138 问题先导: 计算定积分有什么诀窍 / 140 6.1以不定积分为基础理解定积分 / 141 6.1.1一字之差道出本质 / 141 6.1.2从几何意义上理解定积分 / 142 6.1.3注意区分计算面积和计算定积分 / 143 6.2定积分的基本性质和一个定理 / 145 6.2.1理解定积分的可加性 / 145 6.2.2上下限变反导致定积分结果符号也变反 / 145 6.2.3两函数的大小关系在定积分后仍然相同 / 145 6.2.4理解关于最大值与最小值的不等式性质 / 146 6.2.5理解定积分的中值定理 / 147 6.2.6做计算练习加深理解 / 147 6.3定积分的一些拓展知识 / 148 6.3.1理解求原函数的一个定理 / 148 6.3.2学会使用换元法求定积分 / 150 6.3.3理解广义积分 / 151 6.4用定积分解决实际问题 / 154 6.4.1用定积分计算图形的面积 / 154 6.4.2用定积分计算旋转体的体积 / 156 6.4.3用定积分求自由落体运动下降的距离 / 159 6.5小结 / 160 第7章多重积分 知识树 / 161 应用场景: 计算不规则物体的面积和体积 / 162 问题先导: 二重积分计算的到底是面积还是体积 / 163 7.1再次用微观和累加的观点理解二重积分 / 164 7.1.1通过几何意义理解二重积分 / 164 7.1.2理解二重积分的性质 / 165 7.1.3理解更高重的积分 / 166 7.2二重积分的计算 / 166 7.2.1先学会计算二重积分 / 166 7.2.2理解为什么可以这么计算 / 169 7.2.3如何计算积分区域为矩形时的二重积分 / 170 7.2.4学会对复杂的积分区域做划分 / 173 ◎7.3二重积分的拓展知识 / 174 7.3.1学会在极坐标系下计算二重积分 / 174 7.3.2学会计算曲线积分和环路积分 / 176 7.3.3学会计算三重积分 / 182 7.4用多重积分解决实际问题 / 187 7.4.1用二重积分计算平面薄板的质量 / 187 7.4.2用二重积分计算建筑物地基承受的压力 / 188 ◎7.4.3用环路积分计算圆周运动的位移 / 189 7.5小结 / 190 第8章常微分方程 知识树 / 191 应用场景: 描述电源撤除后RL电路中电流的变化规律 / 192 问题先导: 求解常微分方程有什么通用的思路 / 194 8.1常微分方程的定义及简单的常微分方程 / 195 8.1.1理解什么是常微分方程 / 195 8.1.2学会求解可分离变量方程 / 195 8.1.3学会求解简单的齐次微分方程 / 196 8.2一阶常微分方程 / 198 8.2.1学会求解一阶齐次线性微分方程 / 198 8.2.2学会求解一阶非齐次线性微分方程 / 200 8.2.3学会求解伯努利方程 / 204 ◎8.2.4学会求解全微分方程 / 207 8.3二阶常微分方程 / 211 8.3.1学会求解可降阶的3种二阶常微分方程 / 212 8.3.2理解二阶线性齐次微分方程解的结构 / 215 8.3.3理解二阶线性非齐次微分方程解的结构 / 217 8.3.4学会求解二阶常系数线性齐次微分方程 / 218 8.3.5理解欧拉公式 / 223 8.3.6学会求解二阶常系数线性非齐次微分方程 / 224 8.4用常微分方程解决实际问题 / 229 8.4.1用可分离变量方程求解热茶冷却的时间 / 229 8.4.2用一阶线性微分方程分析RC电路的充电过程 / 230 8.4.3用二阶线性齐次微分方程分析RLC电路 / 233 8.5小结 / 234 附录A后续学习建议 参考文献
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