本书介绍了物理学中，尤其是量子系统中的各种几何相位，包括量子纯态的Berry相位和混合态的Uhlmann相位等。作者在纤维丛理论的框架下，利用物理学家熟悉的符号和术语，对这两类相位进行了统一的几何描述。在此基础上，进一步讨论了量子态的几何性质，包括量子相空间的几何特征、量子态流形的局域几何与整体拓扑性质，以及其在具体物理系统中的应用等。
更多科学出版社服务，请扫码获取。
1996.9-2000.7 清华大学物理系学士
2000.9-2002.7 清华大学物理系硕士
2003.9-2003.11 中国科学院理论物理研究所博士在读，后出国
2004.1-2010.8 美国芝加哥大学物理系博士
2010.10-2012.8 香港大学物理系博士后
2011.12-今 东南大学物理系（学院）教授
2024.5-今 合肥国家实验室兼职研究员
凝聚态理论、理论物理在Phys. Rev. Lett.，Phys. Rev. A、B、D、E，Phys. Lett. B，New J. Phys.等期刊发表50多篇论文；郭昊 《Classical Electrodynamics》，东南大学出版社，2021.12，独编著无
目录
序一
序二
前言
第1章经典力学中的几何相位1
1.1傅科摆1
1.2经典力学中的几何相位理论3
1.2.1哈密顿力学与辛几何3
1.2.2经典可积系统简介7
1.2.3绝热不变量与经典绝热定理12
1.2.4经典几何相位——Hannay角18
第2章量子纯态的几何相位22
2.1Berry相位简介——标准推导22
2.1.1量子绝热过程与Berry相位22
2.1.2Berry相位与参数空间25
2.2量子纯态的平行输运与Berry相位27
2.2.1量子态之间的平行性和正交性27
2.2.2平行演化条件与Berry相位28
2.2.3平行演化与动力学过程29
2.3Berry相位的纤维丛描述31
2.3.1Berry相位与U(1)主丛31
2.3.2切丛的水平与垂直子空间32
2.3.3Ehresmann联络与Berry联络35
2.3.4平行输运过程与Fubini-Study距离38
2.4两能级体系中的Berry相位40
2.4.1Berry相位的一般表达式40
2.4.2有效磁矢量势和有效磁场42
2.4.3Berry联络、Berry曲率与环绕数43
2.4.4SSH模型46
2.5若干简单量子系统的Berry相位50
2.5.1谐振子相干态的Berry相位50
2.5.2自旋-j系统的Berry相位53
2.5.3广义谐振子的Berry相位54
2.6Berry相位与Hannay角56
2.7*Berry相位的应用：霍尔电导——TKNN公式58
2.7.1Kubo公式58
2.7.2霍尔电导61
2.7.3Berry相位与量子反常65
2.8简并量子系统的Wilczek-Zee相位67
2.8.1物理描述67
2.8.2几何描述69
2.8.3自旋四极子系统72
2.8.4一般双重简并四能级系统75
2.9Aharonov-Anandan相位77
2.9.1Aharonov-Anandan相位简介77
2.9.2两能级系统的Aharonov-Anandan相位79
2.9.3Aharonov-Anandan相位的几何描述81
2.9.4纯态几何相位的可迁移性问题81
2.10纯态几何相位的动力学方法83
2.10.1Bargmann不变量83
2.10.2单参数曲线与几何相位84
2.10.3量子态之间的测地线与几何相位86
2.10.4Bargmann不变量与几何相位87
第3章纯态流形的几何90
3.1引言90
3.2量子纯态的相空间90
3.2.1量子相空间的纤维化90
3.2.2量子相空间上的K？hler度量92
3.2.3CPN-1与Fubini-Study距离94
3.3齐次坐标下的Aharonov-Anandan相位96
3.4纯态流形的纤维化与距离分解99
3.4.1距离分解99
3.4.2U(1)主丛S2N-1(CPN-1,U(1))100
3.4.3C*主丛CN(CPN-1,C*)103
3.4.4Aharonov-Anandan联络与CPN-1的几何性质107
3.5纯态的量子几何张量110
3.5.1量子几何张量简介110
3.5.2二维量子几何张量的性质116
3.5.3两能级系统的二维量子几何张量117
3.6Fubini-Study距离的几何与物理意义118
3.6.1测地线118
3.6.2量子角122
3.6.3量子演化速度123
3.6.4保真度敏感性124
3.7简并量子体系的非阿贝尔量子几何张量125
3.7.1理论基础125
3.7.2一般双重简并四能级系统127
3.8量子纯态流形的辛几何结构128
3.8.1厄米内积与辛形式129
3.8.2辛形式与量子动力学129
3.8.3辛形式与几何量子化134
第4章量子混合态及其纯化的几何性质139
4.1密度矩阵139
4.2量子混合态的相空间143
4.2.1密度矩阵空间143
4.2.2密度矩阵空间的几何特征146
4.2.3密度矩阵空间的层化150
4.2.4密度矩阵空间的秩分解155
4.3量子混合态的纯化157
4.3.1混合态纯化的定义157
4.3.2平行性的定义159
4.3.3平行性与Bures距离160
4.4Uhlmann平行条件与Thomas旋转矩阵166
4.5密度矩阵纯化的数学物理意义170
4.5.1同一密度矩阵的不同纯化170
4.5.2密度矩阵纯化的旋量表示173
4.5.3准静态动力学过程的旋转解释175
第5章量子混合态的Uhlmann相位176
5.1量子混合态几何相位的研究历程176
5.2量子混合态的Uhlmann相位177
5.2.1混合态纯化的平行演化177
5.2.2Uhlmann相位的几何理论181
5.2.3*从平行演化条件直接导出Uhlmann联络192
5.2.4Uhlmann曲率193
5.3Uhlmann过程与动力学过程194
5.3.1两种过程之间的关系194
5.3.2混合态的动力学相位196
5.3.3对偶哈密顿量197
5.3.4混合过程与Uhlmann动力学过程199
5.4Uhlmann过程的其他性质203
5.4.1Uhlmann平行演化条件与纯态平行演化条件的对比203
5.4.2无限高温下的Uhlmann过程205
5.5两能级体系与非幺正Uhlmann过程207
5.5.1两能级系统207
5.5.2SSH模型211
5.5.3关于二维量子系统拓扑Uhlmann数的争议215
5.6幺正Uhlmann过程217
5.6.1幺正Uhlmann过程的存在性217
5.6.2谐振子相干态的Uhlmann相位219
5.6.3自旋-j系统的Uhlmann相位227
5.7Uhlmann-Berry对应关系242
5.7.1Uhlmann相位与Berry相位242
5.7.2Uhlmann曲率与Berry曲率246
5.7.3Uhlmann曲率与Wilczek-Zee曲率248
5.8Uhlmann相位的实验模拟250
5.8.1平行演化的实验实现250
5.8.2自旋-j系统的弱化“平行演化”251
5.8.3自旋-j系统的Uhlmann淬火动力学过程253
第6章量子混合态的干涉几何相位260
6.1干涉几何相位简介260
6.1.1混合态的相位260
6.1.2平行演化条件262
6.1.3干涉几何相位与动力学相位263
6.1.4干涉几何相位的规范依赖性265
6.1.5典型例子266
6.2干涉几何相位与Uhlmann相位273
6.2.1混合态纯化与相位匹配条件273
6.2.2干涉几何相位与Uhlmann相位的异同274
6.2.3同一物理过程，两种几何相位275
6.2.4三能级玩具模型277
第7章混合态几何相位的其他定义285
7.1引言285
7.1.1Berry相位的“直接”推广285
7.1.2干涉几何相位的“直接”推广286
7.2热基态–密度矩阵的另一纯态表示287
7.2.1热基态简介287
7.2.2*BCS模型的热基态描述289
7.3热Berry相位291
7.3.1平行演化条件的推广291
7.3.2热Berry相位的理论分析292
7.3.3典型例子296
7.4热Berry相位与U(1)丛298
7.4.1热Berry相位的规范不变性298
7.4.2U(1)丛299
7.4.3Ehresmann联络与U(1)规范联络302
7.4.4U(1)几何相位–热Berry相位303
7.5广义干涉几何相位304
7.5.1简介304
7.5.2系统空间上的幺正演化305
7.5.3辅助空间上的幺正演化306
7.5.4系统空间与辅助空间上的联合幺正演化308
7.5.5典型例子310
第8章混合态流形与量子几何张量314
8.1混合态流形及其度规314
8.1.1混合态相空间DNN314
8.1.2Hilbert-Schmidt度规315
8.1.3Bures度规316
8.1.4Bures度规与量子Fisher信息矩阵320
8.2U(N)–量子几何张量322
8.2.1Uhlmann度规322
8.2.2Uhlmann度规与Bures度规326
8.2.3Uhlmann形式329
8.2.4纯态与混合态之间的对应与不同331
8.2.5Bures距离与Fubini-Study距离332
8.2.6基本不等式与Bures距离的分解334
8.2.7典型例子336
8.3UN(1)–量子几何张量340
8.3.1Sj？qvist距离340
8.3.2Sj？qvist距离与UN(1)主丛342
8.3.3Sj？qvist距离的物理意义346
8.3.4UN(1)–量子几何张量349
8.3.5基本不等式352
8.3.6典型例子355
参考文献363
附录ABerry相位的一些补充计算369
附录BK？hler流形简介371
B.1复流形371
B.1.1柯西–黎曼条件371
B.1.2近复结构371
B.2厄米流形与K¨ahler流形374
B.2.1黎曼度规374
B.2.2厄米度规374
B.2.3K？hler形式376
B.2.4挠率与曲率379
B.2.5K？hler流形381
附录CUhlmann相位理论中的一些计算383
C.1Bures距离383
C.2Uhlmann联络385
C.3两能级体系Uhlmann联络的另一种计算方法386
C.4Uhlmann对主丛联络的推导及其问题388
附录D量子淬火动力学简介391
D.1简介391
D.2理论模型392
D.3自旋-j系统的动力学量子相变394
D.4在量子混合态中的推广395
《21世纪理论物理及其交叉学科前沿丛书》已出版书目398
书单推荐
