群集行为的数学理论

定　　价：49 元

• 作者：陈自力
• 出版时间：2025/6/1
• ISBN：9787121503535
• 出 版 社：电子工业出版社

• 中图法分类：TP751 
• 页码：168
• 版次：01
• 开本：16开

内容简介

本书系统介绍了群集行为的数学理论，以 Cucker-Smale 模型为核心，探讨了多智能体在自然界和工程领域中的群体动态行为，如蜂拥、群集行为和一致性等现象. 全书分为两部分：第一部分聚焦 Cucker-Smale 模型的群集行为，第二部分研究其一致性. 本书从群体行为的基本概念入手，详细分析了长程和短程通信权重下的模型性质，包括速度对齐、碰撞避免以及非群集行为的一般充分条件. 此外，书中还探讨了混合 Cucker-Smale模型和时滞 Cucker-Smale 模型的动态特性，并通过数值模拟验证了理论结果的有效性. 本书既包含严格的数学推导，又结合实际应用场景，适合应用数学、运筹学与控制论专业的高年级本科生和研究生阅读. 通过本书，读者可以掌握群集行为建模与分析的核心方法，为进一步研究复杂系统动力学奠定基础.

作者介绍

陈自力，副教授，南昌大学数学与计算机学院硕导，博士毕业于华中科技大学概率论与数理统计专业，主要研究与物理、生物相关的多粒子数学模型，包含常微分方程模型和偏微分方程模型。以第一作者或通讯作者身份发表SCI论文十余篇，主持国家自然科学基金项目4项，主持江西省自然科学基金项目4项。国家精品在线开放课程《高等数学（一）》主讲人之一，指导学生获大学生数学竞赛全国三等奖1项、省一等奖4项。

目 录

第 1 章 群体行为简介. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1
1.1 绪论. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Cucker-Smale 模型介绍 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 典型的群体行为 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 模型的基本性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5 长程通信权重下的群集行为 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
第 2 章 短程通信权重下的 Cucker-Smale 模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1 构造“势能”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 速度的收敛性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13
2.3 碰撞避免 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4 数值模拟示例. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22
第 3 章 Cucker-Smale 模型的非群集行为 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1 非群集行为的充分条件. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25
3.2 二阶空间矩 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3 非群集行为的一般充分条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.4 数值模拟示例. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34
第 4 章 混合 Cucker-Smale 模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37
4.1 混合系统描述. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37
4.2 速度方差 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.3 群集行为的充分条件. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.3.1 速度方差的推导 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.3.2 定理 4.1 的证明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.4 数值模拟示例. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48
第 5 章 时滞 Cucker-Smale 模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51
5.1 问题描述 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.2 碰撞避免 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.2.1 短时间间隔内的碰撞避免 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.2.2 二阶速度–空间距的不等式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.2.3 空间直径的正下界 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.3 群集行为的充分条件. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
第 6 章 具有 Riesz 位势的 Cucker-Smale 模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.1 问题描述 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.2 基本性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6.3 人工势能 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.4 非群集行为 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
第 7 章 具有幂律势的 Cucker-Smale 模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7.1 主要结果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7.2 构造 Lyapunov 泛函 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7.3 微观能量和空间直径. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
7.4 弱一致性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
7.5 强一致性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
第 8 章 具有高次幂律势的 Cucker-Smale 模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
8.1 模型介绍及基本性质. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
8.2 Lyapunov 泛函 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
8.2.1 宏观 Lyapunov 泛函 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
8.2.2 微观 Lyapunov 泛函 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
8.3 一致性及其收敛速率. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .103
8.3.1 弱一致 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
8.3.2 直径的有界性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
8.3.3 强一致的定理证明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
第 9 章 具有拟二次势的 Cucker-Smale 模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
9.1 模型介绍及基本性质. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111
9.2 Lyapunov 泛函 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
9.3 一致性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
9.3.1 空间直径的估计 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
9.3.2 Lyapunov 泛函导数的估计 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
9.3.3 弱一致性的证明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
9.3.4 强一致性的证明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
第 10 章 具有幂律势与反应时滞的 Cucker-Smale 模型. . . . . . . . . . . . . . . . . .129
10.1 模型介绍和能量波动. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .129
10.2 空间直径的有界性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
10.3 高阶幂律势下的一致性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
第 11 章 具有非线性速度耦合和幂律势的 Cucker-Smale 模型. . . . . . . . . . . 141
11.1 基本性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
11.2 一致性与收敛速度. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
11.3 有限时间内一致性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
11.4 独立于 N 的一致性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
11.5 数值模拟示例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
参考文献. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
索引 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159